Wednesday, May 22, 2024
Επιστήμη

Τα μαθηματικά στο πρώιμο Ισλάμ 3

OMAR AL-KHAYYAM..Σε μια πραγματεία επί αριθμητικών προβλημάτων, ο Καγιάμ αναφέρει δύο λίγο προγενέστερα έργα (όχι δικά του) επί των αρχών της αριθμήσεως κατά τους Ινδούς.

Ο μεγάλος πέρσης ποιητής Ομάρ Καγιάμ, γνωστός κυρίως από την ποιητική συλλογή του Ρουμπαγιάτ, γεννήθηκε το 1048 στη Νισαπούρ του Χουρασάν (Ιράν). Ομως, ο Ομάρ Καγιάμ, εκτός από ποιητής, υπήρξε σπουδαίος μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος.

Περί το 1070 πήγε στη Σαμαρκάνδη, όπου συνέγραψε την πραγματεία του Ρισάλα (Risala…) για τις τριτοβάθμιες εξισώσεις. Αργότερα συνέγραψε και ένα συμπλήρωμά της κατά τη διαμονή του είτε στη Μπουχάρα ή στο Ισφαχάν (Ιράν), όπου είχε προσκληθεί να επιβλέπει το
αστεροσκοπείο και παρέμεινε εκεί 18 χρόνια ως αστρονόμος και αστρολόγος.

Από τους αστρονομικούς πίνακες, οι οποίοι συνετάγησαν υπό την καθοδήγησή του, σώζεται μόνον ένα μικρό μέρος. Το 1079 εισηγήθηκε τη μεταρρύθμιση του εν χρήσει τότε ηλιακού ημερολογίου στο Ισφαχάν. Κατά αυτήν, σε ένα κύκλο 33 ετών, έπρεπε να υπολογίζονται ως δίσεκτα τα έτη 4ο, 8ο, 12ο, 16ο, 20ο, 24ο, 28ο και 33ο, οπότε η μέση διάρκεια του έτους θα ήταν 365,2424 ημέρες, με απόκλιση μόνον 0,0002 ημέρας από το αληθές ηλιακό έτος, ήτοι διαφορά μιας ημέρας ανά 5000 έτη.

Σημειωτέον ότι το σημερινό Γρηγοριανό ημερολόγιο με μέση διάρκεια έτους 365,2425 ημέρες αποκλίνει κατά μία ημέρα ανά 3333 έτη.

Σε μια πραγματεία επί αριθμητικών προβλημάτων, ο Καγιάμ αναφέρει δύο λίγο προγενέστερα έργα (όχι δικά του) επί των αρχών της αριθμήσεως κατά Ινδούς, στα οποία υπάρχουν οι μέθοδοι εξαγωγής τετραγωνικής και κυβικής ρίζας φυσικών αριθμών, οι οποίες διαφέρουν από τις ινδικές και μοιάζουν με τις κινεζικές. Στο έργο του Al-Tusi (Αλ-Τουσί) υπάρχει γενική μέθοδος εξαγωγής ρίζης φυσικών αριθμών με εκθέτες θετικούς ακεραίους και εφόσον αυτός δεν ισχυρίζεται ότι είναι δική του, θεωρείται πιθανόν να πρόκειται για τη μέθοδο του Καγιάμ.

Ο Καγιάμ εφήρμοσε τη θεωρία των συμμέτρων λόγων στη μουσική πραγματεία του Συζήτηση περί των γενών της τετάρτης, εμπνεόμενος από ένα πρόβλημα της Κατατομής κανόνος του Ευκλείδου, δηλαδή, τη διαίρεση του διαστήματος τετάρτης σε τρία διαστήματα, χρωματικό, διατονικό και εναρμόνιο.

Από τα αναφερόμενα παραδείγματα, τρία είναι δικά του,
οκτώ είναι από τα Αρμονικά του Πτολεμαίου, 13 από το έργο περί μουσικής του Al-Farabi (Αλ- Φαράμπι), και 14 από έργα του Ibn Sina (=Avicenna, Ιμπν Σινά= Αβικέννα).

Η θεωρία των λόγων στα Στοιχεία του Ευκλείδου υπήρξε αντικείμενο περαιτέρω μελέτης από τον Καγιάμ και άλλους μαθηματικούς του ισλάμ. Στο έργο του Σχόλια στον Ευκλείδη ο Καγιάμ ασχολήθηκε με τίς θεωρητικές βάσεις της αριθμητικής, βάσει της θεωρίας των λόγων. Αργότερα, ανέπτυξε μια ευρύτερη έννοια αριθμού περιλαμβάνοντας τους θετικούς αρρήτους και αποδεχόμενος μια διαιρετή μονάδα. Ο Ομάρ Καγιάμ μελέτησε τη γεωμετρική θεωρία των τριτοβαθμίων εξισώσεων, η οποία ανάγεται στο πρόβλημα του Αρχιμήδους, τομή σφαίρας και επιπέδου, το οποίο να διαιρεί τους όγκους των μερών της κατά δοθέντα λόγο. Εδωσε τη λύση μιας συγκεκριμένης Μ.  τριτοβαθμίου εξισώσεως ως τομή περιφερείας και ισοσκελούς υπερβολής, παρατηρώντας ότι είναι αδύνατη η επίλυση μιας τέτοιας εξισώσεως με κλασικά μέσα, δηλαδή με κανόνα και διαβήτη, εφόσον απαιτεί τη χρήση κωνικών τομών.

Η άποψη αυτή, την οποία διατύπωσε και στο έργο του Ρισάλα, είναι ίσως η πρώτη διαπίστωση ότι οι τριτοβάθμιες εξισώσεις δεν μπορούν να λυθούν με κανόνα και διαβήτη. Την επαναδιατύπωσε ο Καρτέσιος το 1637 και την
απέδειξε το 1837 ο P. Wantzel.

Στο αλγεβρικό έργο του κατέγραψε είκοσι πέντε είδη πρωτοβαθμίων, δευτεροβαθμίων και τριτοβαθμίων εξισώσεων, οι οποίες μπορεί να έχουν θετικές ρίζες. Συμπεριέλαβε και 14 τριτοβάθμιες εξισώσεις, μη αναγόμενες σε πρωτοβάθμιες ή δευτεροβάθμιες διαιρώντας με το χ2 ή
το χ. Για τέσσερεις από αυτές σημείωσε ότι έχουν λυθεί, δηλαδή οι ρίζες τους έχουν προσδιορισθεί γεωμετρικώς, όχι όμως και οι υπόλοιπες δέκα. Για την επίλυσή τους χρησιμοποιούσε το μέρος των κωνικών τομών το οποίο ευρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο.
Μελέτησε επίσης εξισώσεις με τους αντιστρόφους των ποσοτήτων (1/χ, 1/χ2, 1/χ3). Ο Καγιάμ μελέτησε επίσης το πρόβλημα των παραλλήλων. Αρχικώς απέδειξε ότι δύο κάθετοι στην αυτή ευθεία δεν μπορεί να τέμνονται. Κατόπιν απέδειξε οκτώ προτάσεις προς
αντικατάσταση της προτάσεως 29 των Στοιχείων (Βιβλ. Α)・ με την ογδόη πρόταση απέδειξε το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδου.

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *